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勾股定理的奇妙证明【梁卷明】
勾股定理的奇妙证明【梁卷明】
勾股定理：如图，直角三角形ACB中，∠BCA=90°,
则有：AC2+BC2=AB2.
梁卷明证明：分别以AC、CB、BA为边作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，又过点P作PT垂直AC于点T，连结SR, ∵AB=PA, ∠ACB=∠PTA=90°, ∠CBA=∠TAP=90°-∠CAB， ∴⊿ABC≌⊿PAT（AAS）.∴AT=BC=BS,又AT∥BS,故得□ABST, ∴AB TS,又ABPR,∴ABTSPR,从而可将△BSR沿BA方向平移到△ATP的位置.
显然PT∥AM,PT=AC=AM,故得□ PTMA, ∴APMT ，又MN=AC=AT+TC=BC+TC =CQ+TC=TQ,又MN∥TQ, 故得 □ MNQT,∴MTNQ ，又APBR, ∴APMTNQBR, 又将梯形ABNM沿BR方向平移至梯形PRQT的位置！ 此时梯形PRQT中的△KQR位于正方形ABRP的外部,又由NQBR得□ NQRB, ∴QR∥NB∥BC,又∵QS∥BC, ∴点Q必在SR上！从而△KQR与梯形KQSB恰好合成一个△BSR！再把△BSR平移到△ATP的位置即可.
故有：S正方形ACNM+S正方形CBSQ=S正方形BAPR . 即：AC2+BC2=AB2. 证毕！
评注：
1.此证法采用了平移变换的思路来证，抓住了问题的核心！当然直接证明：△BSR≌△BCA≌△ATP，梯形ABNM≌梯形PRQT也可；
2.巧用□ NQRB的性质证明三点S，Q， R共线很简洁。
3.证明三点S，Q， R共线的方法二： ∵ ABTSPR,从而得□ PRST, ∴SR∥PT∥ CB，又∵QS∥BC, ∴点Q必在SR上！
2009-4-19 12:02:00
Posted by 柳州梁卷明 | 阅读全文 | 回复(1) | 引用通告 | 编辑
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