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勾股定理的奇妙证明
勾股定理的奇妙证明
梁卷明
勾股定理：如图，直角三角形ACB中，∠BCA=90°,则有：AC2+BC2=AB2.
梁卷明证明：
如图,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，又过点P作PT垂直AC于点T，连结SR,由AB=RB,CB=SB,∠CBA=∠RBS=90°-∠RBC，可得：⊿ABC≌⊿RBS（SAS），从而∠BSR=∠BCA=90°,又∠BSQ=90°,所以∠BSR=∠BSQ，故点Q必在SR上！又由AB=PA, ∠ACB=∠PTA=90°,∠CBA=∠TAP=90°-∠CAB，可得：⊿ABC≌⊿PAT（AAS），所以：⊿PAT≌⊿ABC≌⊿RBS，进一步又易知：AM=AC=PT, MN=AC=TQ, NB=QR, AB=PR, 且∠MAB=∠TPR=90°-∠BAC(或∠APT),∠M=∠PTQ=90°,∠N=∠TQR=90°,
∠NBA=360°-∠N-∠M-∠MAB=360°-∠TQR-∠PTQ-∠TPR=∠QRP,所以梯形ABNM≌梯形PRQT.
故有：S正方形ACNM+S正方形CBSQ
=S⊿ABK+S梯形ABNM+S梯形KQSB
=S⊿ABK+S梯形PRQT+S梯形KQSB
= S⊿ABK +(S四边形PRKT+S⊿RQK）+S梯形KQSB
= S⊿ABK + S四边形PRKT +（S⊿RQK+S梯形KQSB）
= S⊿ABK + S四边形PRKT +S⊿RSB
= S⊿ABK + S四边形PRKT +S⊿PTA
=S正方形BAPR . 即得：AC2+BC2=AB2
2009-4-14 10:52:00
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