初等数学在中国

初等数学在中国

天津 杨 之

【维普资讯http://www.cqvip.com中学数学研究 2005年第12期】

一、初等数学研究：在中国是一项事业

在数学发展史上，五个时期中的第二个(约从公元前600年～l7世纪中叶)为初等数学时期。初等数学研究是主流．后来高等数学兴起，初等数学学术地位逐步下降到低谷．历300余年，到20世纪六、七十年代，出现转机：在国外，由于数学竞赛的兴起和普及读物的撰写，引发对初等数学的兴趣，出版了一批著作，如“美国新数学丛书”，苏联的《凸图形与凸多面体》、《数学博弈与游戏》、《循环数列》等．丁石孙院士主编，北京大学出版社出版的“智慧之花数学小丛书”(译著)；叶中豪先生任责任编辑，上海教育出版社出版的“通俗数学名著译丛”，都是国外知名数学家的初等数学专著．还有一些数学杂志，注重刊登初等数学问题和论文，如苏联《量子》，美国《美国数学月刊》，德国《初等数学》，加拿大《数学难题》等，对推动初等数学发展，起了重要作用．但无论如何，它却仍未形成一项事业．

在中国则不然!在中国，初等数学研究工作者，再不是散兵游勇，而是有了自己的组织，形成了可观的队伍．他们有研究课题，有奋斗目标，有交流平台：学术会议．短短十几年里，已获得丰硕的成果，对数学研究作出了重大贡献，这是有目共睹的．初数研究，登上了高

等学府讲台，出版了专著文集读物．重要的是：数学界对初等数学研究的看法，正在发生变化．人们的“初等数学观”，正在更新．初等数学研究在中国，已经成为一项事业，成为许多人所追求并为之奋斗的目标．

二、“三议”发表：从舆论到行动

要谈中国初数研究的振兴，不能不从“三议”说起．

20世纪8O年代初，一股初等数学研究的热潮，涌动在中国大地上：现代数学新领域的开拓，使一些老成果崭露新姿，如“优选法”令黄金分割、裴波那契数列、连分数等增添光彩；组合、拓扑和图论使人们关注幻方、一笔画、邮递路线等；华罗庚三个“谈起”开古算今用的先河；陈景润研究“哥德巴赫猜想”获顶级成果，激起人们对数论著名难题的兴趣．中国初等数学研究工作者行动起来，几年间，就在“三多”(多项式、多面体、多边形)、“两数”(数论、数列)、“两几”(几何不等式、组合几何)以及圆锥曲线、分圆多项式等方面，涌现了大量新成果．新创办的十几种数学杂志，提供了发表的空间．为什么沉睡了300年的初等数学，又苏醒复活了呢?这引起笔者深深的思考．

思考结果是在《中等数学》相继发表的“三议”：

1985年第1期《初等数学研究问题刍议》，1988年第1期《再议》和1991年第1期《三议》．作者杨之和劳格(庞宗昱，时任《中等数学》主编)满怀激情，1．报导初等数学苏醒复活的大好形势；2．阐明“初等数学”的特征：初等，综合，基础，应用价值极高，与高等数学互渗互化；3．批判“资源枯竭”论，断言：初等数学还要大发展。初等数学正在大发展；4．提出三项主张：创办初等数学研究杂志，建立初等数学研究组织，召开初等数学研究学术会议；5．指出初等数学研究有三支生力军：教材研究派、数学奥林匹克派和数学方法论派．

《三议》还传达了令人振奋的信息：全国初等数学研究学术会议筹备组于1989年5月成立；首届学术交流会初定于两年后召开．

“三议”引起了热烈的反响：人们著文写信表示支持；研究队伍进一步壮大，热情高涨，成果日增；初等数学研究推动数学教育改革进程，逐渐得到社会的承认．观念的转变，对“三议”主张的认可，促发行动：1990年4月，湖南省数学会率先决定成立初等数学专业委员会，1991年1月召开了成立大会及初等数学学术交流会．福建省和其他一些省市也跃跃欲试．

三、历届交流会：登上学术会议的大雅之堂

经过2年艰难筹备，全国首届初等数学研究学术交流会如期在天津师范大学举行，来自28个省份的代表160余人，出席会议．会议开得团结、民主、扎实、俭朴，取得圆满成功．会议收到论文440篇，其中160篇在会上作了交流．著名数学家吴大任、梅向明、侯国荣先生等出席开幕式并讲了话；时任中国数学会理事长的王元院士捎信祝贺大会并对初等数学研究事业表示支持；《数理天地》杂志社社长兼主编周国镇先生到会祝贺，并对建立“协调组”提出了关键性的建议．会议认为，我国初等数学研究出现初步繁荣兴旺的局面，有其深刻的社会历史原因．事实证明，“到顶论”、“枯竭论”没有根据，初等数学还在发展，它至今仍是一块出课题、出思想、出方法的沃土．会上成立了“中国初等数学研究工作协调组”．

历届全国初等数学研究学术交流会情况见下表．

四、问题与目标：大师指点迷津

撰写“三议”时，笔者反复思考：17世纪以后初等数学的发展为何受阻，逐渐退出数学研究的主流圈?除了高等数学的发展占据了注意力，还另有原因吗?这关乎初等数学研究事业的发展，是一件大事．协调组成立前后，曾集中地研究了这个问题．

数学大师希尔伯特1900年在《数学问题》的著名报告中说：“问题对于一般数学进展的深远意义，以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用，是不可否认的．只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．”数学家哈尔莫斯说：问题是数学的心脏．这是众多数学家切身经验的深刻总结，是对数学发展历史规律的精辟阐释．问题启迪方法，任务提示手段．确立目标，研究才能开始；面对问题，新思想才能产生．正是问题缺乏，初等数学停滞不前．也正是问题丰富，近代数学才成果累累，希尔伯特23个问题起了提纲挈领的作用．我国初等数学的复苏，恰恰是一批“进口”和自产的初等数学问题推动的结果．

为优化我国初等数学问题“产业”，提高产量，采取了一系列举措．如首届学术交流会的“征文提纲”，就是“问题征解”．会上笔者所做报告《初等数学问题》，提出24个问题，引起热烈反响；会后继续搜集筛选，得到“有分量”的问题200多个，从中精选182个编著成《初等数学研究的问题与课题》，1993年由湖南教育出版社出版．其中若干问题，逐渐成为我国初等数学界研究的热点．后来各届学术交流会，又陆续提出数十个问题．

中国初等数学研究，必须树立明确的目标．中国是数学的一大发源地．中国数学的发展，自秦汉到明，历时1800年，代表着世界数学的一支主流；明清之后日衰，主流西移，开始了外国人名充斥数学文献的时代．中国数学打败仗的原因之一，在于民族精神匮乏．抗日战争的胜利，新中国的成立，改革开放的伟大成果，使得中华民族走向复兴!在数学领域，我们还要进一步振奋民族精神．

数学大师陈省身先生，生前念念不忘的就是振兴中国数学，恢复中国数学大国的地位1 1981年，陈省身说：“我们的希望，是在21世纪看见中国成为数学大国”；“要有一支年青的队伍，成员要有抱负，有信心，肯牺牲，不求个人名誉和利益，要超过前人，青出于蓝而胜于蓝”；“20年后必然有大批的中国数学家成为数学各方面国际上学术带头人”．1988年说：“中国的数学要能够跟西洋的数学平等，? ?，我们也要求独立，就是说，中国数学不必跟西洋数学做同一方面，但是要有同样的水平．”1989年说：“我的意思是说，从此不要再跟着人家，想法子找到新的有意义的方向，在这个方向中国的数学家领头地做一些工作，不再跟了．”1994年说：“中国人应该搞中国自己的数学，不要老是跟着人家走．?? 中国数学应该有自己的问题，即中国数学家在中国本土上提出，而且加以解决的问题．”2002年在北京召开第24届国际数学家大会期间，陈省身再次满怀激情发表谈话：“近些年来，中国数学有很大进展，怎样根据这个进展，再向前推进一步呢?策略之一是：不做主流也无妨，做数学的人，有可能找到现在并非主流，但很有意义，将来很有希望的方向．我希望中国数学在某些方面能够生根，搞得特别好，具有自己的特色”；“中国有条件产生第一流的数学家，大家要有信心”；“在本世纪中国要成为数学强国”．可见，为振兴中国数学，先生真是不遗余力!

我们也是不遗余力，殚精竭虑，在每届交流会上都要讲，“纪要”上都要写．“十条建议”中的第1条就是“坚持振兴祖国数学，在21世纪把中国建成数学大国”的目标．笔者在在四本专著或文集的“序”中，也反复阐明这一点．特别地，我们还经常宣传齐民友先生发现的一条“可怕的规律”：“一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的”；“没有现代的数学，就不会有现代的文化．没有现代数学的文化是注定要衰落的．”这就把数学研究同国家的存亡，民族的兴衰挂上了钩．在振兴中华这宏伟目标的鼓舞下，中国初等数学研究的队伍成长壮大起来，勇敢地提出了数百个(中国人自己的)初等数学问题，呼声渐高，事业日益兴旺．

五、学术组织：合作交流的平台温馨的家

中国初等数学研究工作协调组的成立，使我国初等数学爱好者，脱离了单兵作战状态．必要时，研究过程有人协调、指导，成果有地方交流，甚至帮助发表．虽然数学研究，说到底，仍是个人独立思考、创造和发现的事．但是，思考的过程需要与人切磋、交流，获得的结果需要发表，获得“数学社群(共同体)”的承认，变结果为成果．因此，学术组织是需要的，有作用的，这已是不争的事实．

1．成立了一批省级初等数学研究组织：自1991年起，成立了湖南省数学会初等数学专业委员会；福建省数学会初等数学分会；贵州省数学会初等数学分会；江西省数学会初等数学委员会(初等数学分会)；陕西省数学会初等数学研究会；浙江省数学会初等数学研究会；山东省数学会初等数学研究会．

江苏、四川、安徽省则建立了初等数学研究会筹备组或初等数学研究小组．各省初等数学研究组织召开了本省的学术交流会，有的(如湖南、福建省)还出版了自己的“初等数学研究论文集”．

2．建立了三个专题研究小组：中国不等式研究小组、中国绝对值方程研究小组和中国折线研究小组，都做了相当多的工作．中国不等式研究小组十多年来召开了三届学术交流会，出版了论文集，编辑了50多期《不等式研究通讯》，成果累累，已获得国际数学界一定程度上的认可．笔者将另文评述之．

3．筹备成立“中国数学会初等数学分会(或专业委员会)．”一直在努力，但很困难．1994年，中国初等数学研究工作协调组向中国数学会理事会递交了申请报告，至今未获接纳．要继续开展深入的学术研究，争取重要的成果更多的涌现；也要宣传我们的工作，沟通与专业数学家的联系，争取支持，希望这一目标早日实现．

4．创办中国“初等数学学报”，难度也大，尚待努力．

六、初数研究：高水平数学教师的摇篮

二十多年来，我国初等数学研究发展迅速．

1．研究成果丰硕．专著和论文集出了几十本，向全国和省级学术交流会提交了40OO余篇论文，在全国性中级以上学术刊物上发表了至少3000篇论文；提出了大量“中国人自己的”问题，在有些领域如几何不等式，一般折线，数阵，映射数列，绝对值方程，圆锥曲线等，走在了世界前列．

2．培养了一大批年青的数学家，此中最大的赢家是数学教育．由于初等数学研究工作者主要是中小学数学教师、教研人员、高校教师和数学工作者、编辑、研究生和大中学生、数学爱好者等，他们在做出研究成果的同时，积累了研究发现的经历，实现了“三项更新”(观念转变，知识更新，技能提高)，有的成为高水平的教师．据了解，全国不少特级数学教师、苏步青数学教育奖获得者，都是初等数学研究的积极参与者．有人甚至说：初等数学研究是名师的摇篮．

3．初等数学研究，提炼了中小学数学的材源，拓宽了它的背景，丰富了它的内容，优化了它的结构．

4．蓬勃发展中的初等数学，为数学教学提供新知识、新方法、新思想，新观念，为教材编写、研究性学习、数学竞赛提供丰富的素材．我国初等数学研究的不少世界领先成果，也可成为向学生进行爱国主义教育和振奋民族精神的好素材．

七、问题与课题：未开垦的处女地

种种迹象提示我们，初等数学的资源，异常地非富：它的问题，它的思想方法，可能是无穷无尽的．有人甚至断言：初等数学广阔的原野，至今基本上还是未开垦的处女地．希尔伯特曾指出数学问题有内部和外部的两个来源，他说：“数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会代之而起．”从某种意义上说，任何数学问题，“彻底解决”是不可能的．每个数学名题不啻是数学的摇金之树，着意培育，总能获益．那么怎样提出问题呢?能够提出有价值的问题，是进入研究的第一步，成就的大小，决定于提出、识别、选择和钻研问题的能力．

受周春荔教授的启发，笔者在《初等数学研究的问题与课题》一书中，指出寻找问题的六条途径：(1)分析实际需要，抽象形成问题；(2)观察归纳猜想，综合发现问题；(3)深入挖掘教材，联想提出问题；(4)研究赛题、考题，推广提出问题；(5)研读消化文献，概括提取问题；(6)更新数史研究，开发传统问题．

这也是笔者提问题的经验总结．以下简略地回顾“四个系列”问题提出的原过程．

1．绝对值方程．

受到苏联多莫里亚特《数学博弈与游戏》和杂志上研究含绝对值函数图象一类文章的启发，希望突破解析几何中只研究光滑曲线方程的局限性而提出．首文《绝对值方程》发于《中等数学)1985年第6期，研究的是“在含有变量的某些部分上含有绝对值符号的曲线、曲面方程”，现已求得相当多的多边形、多面体和复杂折边图形的方程．问题是方程结构复杂，难以应用．任务是简化结构，摸索规律，付诸应用于闭折线、折边图和多面体性质的研究，并解决“二元一次绝对值方程分类”的问题．

2．映射数列．

首先研究的是“黑洞数问题”，和杂志上介绍的“3n+1问题”，撰文《角谷猜想与黑洞数问题的图论表示》，发于《自然杂志)1988年第6期，后又将数码方幂和，方幂问题，“3n+1问题”的推广，最小非因数问题，九余数列等，经概括提出“映射数列”问题：设T为N→N 的单值映射，对n_o∈N，T(n₀)= n₁，T(n₁)=n₂，?，T( n_k-1)= n_k，? ，考虑数列{n_k}的各种性质，实际上是自然数在映射 之下的各种性质，是一种动态数论．

3．数阵．

引发数阵问题研究的，是四边形面积分布、挂历、格图计数等问题的等差数阵．首文《等差数阵的性质及应用》发表于《湖南数学通讯)1990年第6期．数阵的定义是：设a_i1…in是具有n个下标的数，如把a_i1…in 放置在n维空间Rⁿ的点( i₁，…i_n )处，就形成一个数阵{ a_i1…in }．现已研究了n维等差数阵、杨辉阵、斐氏阵、(m₁，m₂ ，?，m_n )阶等差数阵、线性递归数阵、等比数阵、杨辉一皮尔数阵、空间分割数阵、高阶差等比数阵、周期数阵和最小非元素数阵等的性质和等差数阵在数论中的应用等等，此课题正“招兵买马”．作为数列概念的推广，多种数表的正名，定义在Nⁿ 上的n元函数的值结构的研究，前途广阔，

4．一般折线，作为“研究平面图形的科学”的欧氏平面几何，包括平面解析几何，只研究稀少的几种特殊图形，其中折线形只研究三角形、几种特殊四边形和正n边形等．研究过的图形所占比例微乎其微．受傅种孙先生《从五角星谈起》一文的启发，就想到“一般闭折线”的研究．首文《折线基本性质初探》发表于《中学数学)1991年第1期．基本定理“闭折线如有双折边，则必有偶数条，左右旋边各半且相间排列”的发现，引起人们的关注．现在，围绕其组合拓扑性质和度量性质的研究，都卓有成效．

现在，这四个系列的新课题都成为国内初等数学研究的热点，处于学科前沿，获得的成果不少是世界领先的．限于学识和见解，肯定还有不少初等数学的研究课题和成果是笔者没有注意到的．以上陈述，不免有遗珠之憾．非常希望有识之士参与交流，使中国初等数学研究更多的成果广为人知．

关于提出初等数学研究问题，国内不少学者达到了华罗庚提到的最高境界．不等式方面最多，有杨路、单蹲、杨学枝、匡继昌、杨世国、刘健、褚小光、刘保乾先生等数十人．其他方面，也有周春荔、熊曾润、肖振纲、王方汉、林世保先生等数十位．吴康先生在全国第五届初等数学学术交流会上的发言《关于初等数学研究之我见》也给我留下了深刻印象．他讲了四个问题，其中“1．源远流长”是说：初等数学，我国有辉煌历史．现在独树一帜，在一些课题研究中处于世界领先地位(如几何不等式，折线，数阵，绝对值方程)．应积蓄力量，期待高潮再起．“2．关于初等数学研究课题”指出(1)传统课题，仍有潜力(如不定方程，欧氏几何)；(2)名牌课题，凸显优势(如不等式，折线，绝对值方程，数阵)；(3)百花齐放，千红万紫：代数方程与不等式(解不等式组，条件型方程和方程组)；函数迭代与函数方程(如吴伟朝提出许多问题)；复数与复平面；向量；平面几何；立体几何(目前立体几何研究偏少)；平面解析几何与空间解析几何(如曲线系)；圆幂几何；初等射影与仿射几何；初等微积分；初等概率；组合几何(充满了新课题)；初等组合数学(如计数问题)；图论(很多是初等的，大有可为)；初等线性规划；初等数论；数学建模与应用；逻辑(如逻辑谜题)；博弈论；初等集合论等等．“3．对初维数研究的几点建议”．“4．十年磨剑，造就大师”(如攻克一个重大问题，拓宽加深一类问题，均可成为大家)．

有诗云：

红豆生南国，春来发几枝．愿君多采撷，此物最相思．

蕴藏丰富的初数资源，无穷宝藏的初数原野，对初等数学爱好者来说，就是一望无际遍生红豆的南国，愿君多多采撷．

八、小结：三个愿望

第一、希望我们的系列学术会议，一届一届延续下去，一届比一届办得好；第二、尽快成立全国性的初等数学研究的学术组织；第三、早日创办全国初等数学研究的学术刊物．

2005．10．7．宝坻书斋

编者按：杨之(杨世明)先生(1935～ )，天津宝坻人．1962年毕业于北京师范大学数学系．任教新疆喀什二中(12年)、宝坻城关高中、宝坻一中后，任宝坻区教研室教研员(1982)，宝坻数学会理事长(1982)，中学特级教师(1991)．还先后任中国初等数学研究协调组成员，全国数学科学方法论研究交流中心副主任，《中等数学》、《中学数学教学参考》、《中学数学》、《中学数学月刊》、《数理天地》编委，天水师范学院名誉教授，宝坻县(区)第2～4届政协常委．中国初等数学研究、波利亚与数学方法论研究的主要倡导者；徐沥泉“MM教育方式”实验课题(即“贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质”的数学教育实验)的主要参与者．著述有初等数学、数学哲学与方法论、数学教育文章约500篇，专著《初等数学研究的问题与课题》，主编《中国初等数学研究文集》，合著(MM教育方式理论与实践》、《数学发现的艺术》，译著《数学博奕与游戏》等l8本．参加20多次国际性和全国性学术会议，在天津师大、西北师大、首都师大等数十个高校和科研单位讲学．杨之先生对初等数学研究的强烈追求和开拓精神，对数学教育的真情投入，在国内数学教育界产生了较大的影响．

杨之先生通讯地址为(301800)天津市宝坻区华苑1栋l单元302房．

本刊发表的学术文章，由作者文责自负，其中论点不代表本刊观点，特此声明．关于中国初等数学研究的史实、趋势、得失、毁誉，欢迎国内外人士踊跃参加相关讨论．

全国第六届初等数学研究学术交流会消息

全国第六届初等数学研究学术交流会将于2006年8月在湖北宜昌举行，由湖北大学《中学数学》编辑部和宜昌市教研中心联合承办．

会议征集的论文是：(1)初等数学研究(未全文发表过)的新成果；(2)初等数学研究某一专题的综述(不含数学教学研究的论文)．

本届会议期间，将评选和颁发第二次“青年初等数学研究奖”：在不超过040岁的申请者(以第一作者身份)提交的论文(以及他已做出的初数研究成果)中，评选获奖者5名，提名奖l0名，在会上颁奖．申请者除提交一篇反映自己所获新成果的论文外，还需附上身份证的复印件，并简要介绍自己已发表的初数研究主要成果．向大会提交论文的最后期限是2006年4月30日．联系地址：(430062)湖北大学《中学数学》编辑部余响兰．

(天津杨之供稿)

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Re:初等数学在中国

中学极显然重大错误：将两异集误为同一集
——续《百年集论确是"疾病"之理由》
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]非常形象直观地显示中学重大错误：无穷数列{f（n）}中n>0的变域必是正自然数集n。揭示存在最大自然数和无穷大自然数。最关键是若集k的元不可与z的元一一对应相等就证明k=z不成立。
[关键词]推翻集合论；假自然数列；标准及非标准无穷大数；最大自然数；变量的变域
可视其为0而忽略的变数n可取一切正自然数？
高精度近似计算的核心之一是考察误差函数是否
相比下贴近于0，凡有正实变量可略必表明其变域内各数相比下全都是微不足道从而可略的极小正数。设某研究只须用正自然数，显然若误差w的变域是n就绝不可视其为0而略。近似计算常识：代表正自然数的
y=10…0n（亿亿倍于n）+n=主要部分+次要部分n≈10…0n+0>>n=1,2,…（所有n组成q）
是说可→∞的误差余项w=n与y的主部相比实在是总距0太近了以致可视其为0而略，即说n的变域q各元n相比下全都是≈0从而可略的极小正自然数——表明q=｛n｝绝不可含一切正自然数而只是n的一小部分。说q=n是将两异集误为同一集。
肉眼不能将无穷多项都看到，但人有逻辑推理能力，慧眼能洞察无穷集的所有元是否都有“配偶”而不被肉眼所骗。肉眼不能察觉此桶水仅比那桶水多一个水分子，但慧眼能洞察此无穷集{n}比那{n}多（少）含一个数。注！符合实际的思想才能产生慧眼，否则产生傻眼陷入“不可知论”“科学终结论”。
设俯视图1：{①，②，③，...}=a表示一给定的有无穷多双项（一双项组成一组大项）的立体序列，其由上、下两个序列a1与a2组成，立体自然数都“悬浮”在“围棋白子”○上。类似有b：
{...，⑥，④，②，①，③，⑤，...}
的左（右）半边的数是偶（奇）数。a（b）的所有数组成n。a中正自然数列a1的下面是棋子○序列a2={○}～n（表示a2的○可与n的数一一配对）。a各数都由n变为n+1后再增添新首项1得图2：
{1，②，③，④，...}（1下无○）=m
m各数与a2的○不可一一配对而总有一数下无○，表明m中的数比（a2～n中的）○多一个——意味m比n～a2多包含一个数——意味m中有超自然数>一切自然数！可见形如{1，2，...，n，...}的集不一定是n！即存在似是而非的假n！凡有看图识字能力的人都能：
看图1识“字”：在a中：单独粉碎（增添）n个数后立刻就有n个○上（数下）没数（○）与之配对，无论如何重新配对。原因是a比原来少（多）了n个数，即上下两序列中的任一列一旦单独增减项就必打破原来数与○一样多的格局。故图1显示有
h定理1：任何序列与级数增（减）n个项后必比原来多（少）n个项。
[1]证明了 h定理2：对等的两无穷集f～g的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。
故此序列{n}的项可多（少）于彼{n}的项。自识自然数多得写不完的5千年来一直无人认识此革命真象使康脱康健离脱误入百年歧途。
图2的m各数都不动而各○都左移一个位置得{①，②，③，...}，人们就以为其中的数与○一样多。殊不知在无穷远处必有一数下无○。a的项也作此变动得{○，①，②，③，...}——假象：部分○可与全部数一一配对。“数学是研究无穷的科学。”然而几千年“肉眼数学”恰恰对无穷的认识太幼稚片面而一直被其表面假象所迷惑。
符合实际的思想：不增减项的序列各项的位置无论如何改变都不能改变项的多少。显然有换偶原理：已一一配对的无穷多对“夫妻”之间互相任意“换偶”必还是可一一配对。否则就不合逻辑自相矛盾了。
故凡～n的集g的元都必可有“配偶”∈n，一个不漏！故g=n～n 的各非1元n+1都有配偶n∈n（所有配偶n=1，2，…组成u）的同时g的1也必可有配偶t∈n 。极显然：t是u外的最大自然数！t+1是超自然数。同理在以下的两都是n的
{…，3，1，（2，4，…，2n，…}
{…，a2，a1，（1，2，…，n，…}
中，一目了然：下n小括号左边的数都是无穷大自然数>右边的一切n。详论见[4]。
以上立体思维“解毒药”使在康脱的病态“乐园”内陶醉了百年的数学一下子清醒过来：化学曾被错误燃素说统治百年，数学也被极荒唐的集论统治百年。
定义域为d=（0，1）的y=10x的值域z真的=（0，10）=d+[1，10）=k吗？
d各元均由x>0变大为y=10x得以y为元的z～d。据h定理2,z～d不可～d的真扩集kéd！从而更≠k! 故中学的“z=k”是将两异集误为同一集。
关键是z各元10x的对应数x的全体是d而不能是k！z～z不能说明z～k。
一种保序变换：x轴上各质点x>0都向前移动至新位置2x>x后各点的前后次序没改变。若有序集z=k则其各元必可由小到大一一对应相等。然而z是由k的d部分的x都变大为10x保序变换而来的，由此推知z的元10x不能与k的元x由小到大一一对应相等——又有力证明z≠k。
搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。真正建立在此定论之上的理论如康脱的集论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
结语：科学革命的特征就是推翻举世公认的“真理”。“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！限于篇幅本文只能挂一漏万.详论见[3][4]。
参考文献
　　[1]黄小宁，极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[j]，科技信息，2009（26）；
　　[2]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由[j]，科学中国人，2009（4）；
[3]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[j]，今日科苑,2009（16）:267
[4]黄小宁，不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误[j]，科技信息，2009（32）.
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2010-2-4 22:11:00

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再论两集不对等就更谈不上相等

再论两集不对等就更谈不上相等

——中学几百年重大错误：将两异集误为同一集

黄小宁（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）

【摘要】自有直线函数概念几百年来一直认定定义域为（0，1）的y=100x的值域=（0，100），其实是重大错误。几百年解析几何一直将y=x数轴与人们未知的y=2x数轴等各不同的数轴误为同一轴。从而使康脱脱离健康地推出极荒唐“部分可=全部”的“革命发现”。

[关键词]假自然数集；自然数公理；集论；前所未知的数轴；推翻





一、存在奇数与偶数不一样多的是假自然数集——推翻百年自然数公理

如[1][2]所述，非0自然数列（1，2）（3，4）...=n的奇数与偶数能一一配对而无一“单身”，而其各项都由n变为y=n+1后再增添新首项1得：1（2，3）（4，5）…= n′中的1就只能“单身”，除非拆散某“夫妻”，即其奇数与偶数不一样多！故n′是似是而非的假n！而且关系式y=n+1>n=1，2，…（数列n）也一目了然地表达y=n+1必可>数列n的一切数n——意味相应y=2，3，…中有超自然数y>n的一切n！

如[3]所述，“对于任何一个自然数n都有自然数y=n-1<n”是病句：有自然数y<任何（所有）自然数n。同样“对于任何一个自然数n都有自然数y=n+1>n”——自然数公理也是违反语文常识的重大病句：有自然数y>任何（所有）自然数n。起码数学常识：说y=n+1>n=1，2，3，…（y∈正整数集n）中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取n的一切数，显然就是说代表n内数的y可一个不漏地遍比n的一切数都大，即说n内有数y>n的一切数——重大病句！关键是最起码数学常识：代表n内数的y可>式中数列的一切n。故若限制y∈n则y的定义域≠n。

故定义域为n的y=n+1>n的值域z～n不是n的真子集，中学数学误以为n éz是搞错y的变域的重大错误。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。

d～g表示d与g对等，就是说两集分别包含同样多（个）元素——两集相等的必要条件。两集不对等就更谈不上相等。

两不交且非空的集u、v的并记为u+v。给u增一元得u的真扩集u+｛a｝=h就比u多了个u所没有的数a——不论u是否无穷集。

由存在上述“单身”元的原因得[2]中的

h定理1（真扩集定理）：无穷集d～g的真扩集d+e=k必不～g而至少比g～d多含一元。即对等的两集的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。

证：k=d+e的一部分d～g的元（阳）与g的元（阴）一一阴阳配对就将g的元都配光了，k还剩下e的各元都只能“单身”而无“妻”∈g，除非拆散已配对的相应多对“夫妻”（若e的元多于g的元则即使拆散全部已配对的，也不能使e各元都有“妻”∈g。）；表明k至少比g～d多含一元。证毕。

二、0<y<k不一定表示y的变域是（0，k）

由① 0<x<1得② 0<kx<k=100...0。

若①表示x的变域是（0，1）=d，那么②也表示kx＝y的变域z是（0，k）=d+[1，k）=v吗？即定义域为d的y=kx的值域z=v吗？

d的各元x均由x变换为y=kx就得以y为元的z～d。据h定理1d～d不可～d的真扩集v，而z～d说明v不可～d与z——从而更≠z！或：因v=d+[1，k）不可～d，故～d的z必≠v。否认此理者缺乏起码逻辑推理能力或对集合论一窍不通。

故自有直线函数概念几百年来一直认定的“z=v”是将两异集误为同一集的重大错误！建立在此定论之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。

关键是z的各元y=kx的对应数x的全体组成的集是d而不能是v=d+[1，k）！谁也不能证明z～v。形成鲜明对比的是v各元均由x变换为kx所得的集就～v。 而且关系式：z的任何（一切）元y=kx>>x∈d+[1，k）=v也一目了然地表达v中有数x<<z的一切元y,表明z≠v而与d一样都只是v的一小部分。所以：

③ 0<y=x<k表示y的变域是（0，k）=v，而②就并非表示定义域为d的y=kx的变域z是v。

②式中的y=kx被限制于是x的函数使其不能不受任何限制地在区间v内任意变动而被限制于所取的正数y=kx都必须>>另一正数x=y/k；而③式中的独立变量y就完全不受任何限制地能在区间v内任意变动取任何正数，即此y所取的正数y无须一定有远比其小的正数x=y/k与之相对应。

任何正数y都有对应数y/k都可k>1倍于别的正数吗？形如y=k（y/k）=kx>>x>0的数y都至少>一个正数,都有对应正数y/k=x, 将这类数称为b正数。由函数知识，z包含了v的所有b正数y=kx>x∈d，即v内b正数的全体组成了z。

定义域为d的f(x)的值域z=v（b数）（v内所有b数组成的集）才是正确的，去掉“（b数）”就是中学数学重大错误：将v的一小部分：z，误为v，从而使康脱脱离健康地推出极荒唐“数学可不受最起码语文、科学常识：部分<全部的束缚”的“革命发现”。详论见[4]。

三、y=x轴与y=2x轴、y=x/2轴等各不同的数轴不可误为同一轴（点集）：y=x轴

若y=kx的定义域为x=y轴的线段d：0 1（珍珠的直径）则其值域就是相应y=kx轴的线段z（地球直径）：0 … k。以上表明z根本不同于x=y轴的线段v：0 … k。缘于它们的组成成员不同：v的元是点x而z的元却是点kx。[5]提出了y=f（x）数轴概念：x=y轴的各个点均由x变换为点y=2x，x轴就变换为以点y（x）为元的y（x）轴。几百年解析几何一直将y=x轴与人们未知的y=2x等数轴混为一谈，就搞错了变量的变域。

不明此重大真相使康脱推出极荒唐病态理论：x=y轴的线段v可～它的一小部分d。

数学否定客观存在的“特异”数轴犹如医学否认客观存在的非典病毒——是致命错误。
花钱学习的亿万学生是消费者。故若消费者委员会对数学课本及教学是否有误人子弟的重大错误袖手旁观，就是极其重大的失职。

参考文献

[1]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形

——破解2500年芝诺著名运动世界难题[j]，今日科苑,2009（16）:267.

[2]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由——试议著名数学

家庞加莱百年前的预见[j]，科学中国人，2009（4）。

[3]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[j]，2007（36）:31.

[4]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[j]，

科学咨询，2007年10月第2期：29。

[5]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[c]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。

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2009-9-19 15:23:00

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Re:初等数学在中国

我有过三次留言，从哪里哪得到回复？

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