（1）一边两端内角较远三等分角线交点，此边一端优角与另一端外角不靠近边的三等分角线（或反向延长线）的交点构成的三角形；

（2）一边两端较远分角线的反向延长线交点，该边一端内角与另一端外角较远三等分角线（或其反向延长线）的交点构成的三角形；

（3）一边两端外角较远三等分角线交点与边一端内角同另一端优角较远三等分角线的反向延长线的交点构成的三角形；

（4）一顶点处的内、优及外角的靠近某边的三等分角线，分别与这边另一端相应角不靠近这边的三等分角线的交点构成的三角形；

（5）一顶点处的内、优及外角的靠近某边的三等分角线与这边另一端的外、内、优角的不靠近这边的三等分角线的交点构成的三角形；

（6）一顶处的内、优、外靠近某边的三等分角线与这边另一端的优、外、内的不靠近这边的三等分角线构成的三角形．

仅证第（1）个．如图，考虑ＢＣ边，设Ａ＝3α，Ｂ＝3β，Ｃ＝3γ，则有
∠ＣＢＱ_１＝120°－2β，∠Ｑ_１ＣＢ＝60°－2γ，
∠ＣＢＲ_２＝60°－2β，∠Ｒ_２ＣＢ＝120°－2γ．
故∠ＰＢＱ_１＋∠ＰＣＱ_１＝120°＋60°＝180°，∴点Ｐ、Ｂ、Ｑ_１、Ｃ共圆，同理，Ｐ、Ｂ、Ｒ_２、Ｃ共圆，则Ｐ、Ｂ、Ｑ_１、Ｒ_２、Ｃ五点共圆．
∴∠ＰＱ_１Ｒ_２＝∠ＰＢＲ_２＝60°，∠ＰＲ_２Ｑ_１＝∠ＰＣＱ_１＝60°．
∴△ＰＱ_１Ｒ_２是正三角形．证毕．
参考文献
1  梁卷明．三等分角线构成的三角形的性质．中学数学，1997，7
（广西柳城县中学   梁卷明）